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第一百一十五章 最后一战(一)

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    美国东部时间7月12日上午8点,IMO第二天的考试正式开始。

    坐在考场里,张伟还在想着程青锋他们——也不知道那几个家伙,会不会受昨天记者们的影响。

    不过话说回来,这都已经进了考场了,担心再多好像也没啥鸟用,他现在唯一能管得了的,就只有他自己了。

    收拾好心情,张伟开始专心对付起手上的试卷。

    把三道题都审了一遍,整体难度比昨天的卷子大了不少——特别是最后那到压轴题,难得不止一点点啊!

    最难的当然是放在最后,先做前面的:

    第一题平面几何;

    第二题代数。

    虽然费了些手脚,但总的来说还算顺利,做完两题总共花了不到两个小时。

    接下来就是最后一道压轴题,时间还有两个半小时,题目如下:

    设n是一个正整数,考虑S={(x,y,z)lx,y,z∈{0,1,2,...,n},x+y+z>0}是三维空间中(n+1)3-1个点的集合。问:最少要多少个平面,它们的并集才能包含S,但不含(0,0,0)?

    这应该是道糅杂了空间几何与代数的题,在IMO的压轴题中,这种多知识交叉的题型出现的频率还是挺高的。

    题目没有给出已知图形,需要考生自己在脑海中建立几何模型,这无疑增加了题目的难度。

    张伟首先在脑海中将空间模型勾勒了一下,然后又在草稿纸上开始比划,可比划来比划去,对解题还是没有什么思路。

    想把几何的部分暂时放一边吧,但由于卷子上没有给出图形,这要放下了,等会儿要捡起来就得再在脑海中构建一边——这无疑是件相当浪费时间和精力的事儿。

    于是,只得硬着头皮继续研究几何模型,然后将近二十分钟就这样过去了......

    “没有头绪啊......”晃了晃被模型搅得发胀的脑袋,张伟终于放弃了从几何部分做突破的尝试,他知道不能再继续钻几何的牛角尖了。

    考奥数,最怕一条路走到黑,不撞南墙不回头的精神,在考场上可要不得。

    张伟又把题目细细审了一遍,这次很快就有了发现:

    显然可以构造3n个平面,满足其并集包含S但不包含(0,0,0),例如:平面x=i,y=i和z=i(i=1,2,...,n);再如平面集x+y+z=k(k=1,2,...,3n).

    但“3n”这个答案是不是满足要求的最小值呢?张伟觉得应该是,但是光觉得还不行,他得证明的确是。

    那么接下来的思路,就是要证明最少要“3n”个平面,它们的并集才能包含s,但不含(0,0,0)。

    假设结论存在反推过程,最容易想到的是使用归纳法,而张伟也是这么操作的。

    引理考虑K个变量的非零多项式,对K用归纳法证明引理,似乎行得通!当K=0时,由P≠0知结论成立.假设结论对k-1成立,再证明结论对k成立......

    为了证明一个假设,后面需要证明更多个假设——这就像是对女朋友撒了一个谎,后面就需要用更多的谎言来圆这个慌!

    无限循环简直看不到头啊!

    一顿猛如虎的操作证明之后,还要证明degR≥nk!

    但是特么到底要怎么证明degR≥nk啊!
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